確率論 1

必要となるたびに勉強しては、すぐ忘れてしまう確率論の用語等を、自分のために一通りまとめておく。
今回参考にしたのは、以下の2冊。(両方とも値段以上の価値のある良書だと思います。)

• [1]結城浩, 数学ガール(乱択アルゴリズム)
• [2]平岡和幸, 堀玄 プログラミングのための確率統計

確率には以下の3種類があり、ここで扱いたいのは2番目．

• 1.　古典的確率 : 高校でやった、場合の数の比を利用するもの. すべての事象が等確率で起こるという前提条件に基づいている。

    ある事象の起こる確率 = (注目している事象の場合の数)/(すべての場合の数)
          

• 2.公理的確率 : 確率の公理により定義される確率．各事象の起こる確率が異なるものや、連続的な事象についても扱える．
  

    コルモゴロフの確率の公理 (正確なものはwikipediaへ．)
    Ωを注目する事象の集合とし，AとBをΩの部分集合、P(.)をΩの部分集合から実数への関数とする．
    公理1) 0<= P(A) <= 1
    公理2) P(Ω) = 1
    公理3) A∧B = {} (空集合) ならば、P(A∨B) = P(A) + P(B)
          

• 3.統計的確率 : 発生頻度を実際に調べ、その比を確立としたもの．

コインの裏表、サイコロの出る目など、離散的な事象を扱う場合、離散(型)確率分布を考える．

• 標本空間『 Ω 』 : 施行の結果として起こりうるすべての事柄の集合．全事象とも呼ばれる．
  例)　1個のサイコロを投げたとき出うる全ての目{⚀ , ⚁ , ⚂ , ⚃ , ⚄ , ⚅}
• 標本(点) 『 ω ∈ Ω 』 : 標本空間の元．施行の結果起こりうる個々の事柄.
  例) 1個のサイコロを投げたとき実際に出た目  ⚂
• 事象 『 A ⊂ Ω 』: 標本空間の部分空間. 施行の結果起こりうる事柄.
  例) 1個のサイコロを投げたとき2以下の目が出る，という事象は {⚀, ⚁ }　この二つの結果の集合になる
• 確率変数 『 X(ω) 』: 標本空間Ωから実数Rへの関数(標本点に実数値を対応させるもの).
  例) サイコロの出目は現象であって、実数値への対応は定義する必要がある．例えばサイコロの出目の300倍の点をもらえるゲームの得点の確率変数は,
  X(⚀)=300, X(⚁)=600, X(⚂)=900, X(⚃)=1200, X(⚄)=1500, X(⚅)=1800,
  と定義できる．
• 確率 : ある事象の起こりやすさを表す. 必ず起こるなら1.
  例) 600点もらえる確率は P(X(ω)=600)
• 確率分布 『P(A) or P(X)』: 任意の事象Aが起こる頻度を表すもの (注123)．
  例) 下を参照

確率分布の例1 : 理想的なサイコロ　

ω	X	P(X(ω))
⚀	300	1/6
⚁	600	1/6
⚂	900	1/6
⚃	1200	1/6
⚄	1500	1/6
⚅	1800	1/6

確率分布の例2 : 1, 2, 3の目が無くて，4, 5, 6の目が2個ずつあるサイコロ

ω	X	P(X(ω))
⚀	300	0
⚁	600	0
⚂	900	0
⚃	1200	2/6
⚄	1500	2/6
⚅	1800	2/6

注1)確率論では,　確率, 確率分布, 確率変数と，"確率"のつく異なる用語が出てくるので混乱を招きやすい．これらをちゃんと区別する．
注2)確率分布（単に分布と呼ばれることも）は,　すべての確率1を，各事象へどう振り分けているかを表すもので，離散分布なら上のように表の形で表せる.
注3)確率分布を考えるとき，事象そのものでなく確率変数の値に注目すると, 「確率変数Xが値xとなる頻度はどの程度か」 を表すものとも言える. この場合,P(X=x)と表記する.
少し進むと裏にある事象は無視して,確率変数とその確率分布に対する議論で話が進む．
注4)確率変数というのが，確率の話をわかりにくくしている気がする．これは英語で言うとrandom variableで，ランダムにいろんな値を取りうる変数という事.
で,各値を取る確率が確率分布P(X=x)で指定されている．

サイコロの出目のような離散的な標本空間でなく, 「ルーレットを回した時の針の角度[0,2π)」、 「次に電話が鳴るまでの時間」のような連続的な標本空間を考える．　

• 標本空間 『 Ω 』
  例) ルーレットを回した時の針の角度が取りうる値の集合,　{θ|θ∈[0,2π)}.
• 標本(点) 『 ω∈Ω 』
  例) ルーレットを回した時の針の角度の値, θ=π/2.
• 事象 『 A⊂Ω 』
  例) ルーレットを回したときの針のが左上になる，π/2≦θ≦π．事象は標本空間の部分空間になる．
• 確率変数 『 X(ω) 』
  例) 針の角度そのものを確率変数とすると: X(θ)=θ
  針の角度の300倍を確率変数とすると: Y(θ)=300θ
• 確率
  例) 針がπ/2とπの間を向く確率を, P(π/2≦X≦π)と表記する
• 確率分布 『 P(A) or P(X) 』
  例) 確率密度関数を用いて表される(下参照).

連続的な確率変数を扱う場合，確率変数が広がりを持つ値をとる確率 はゼロでないが、その値がちょうどある値になる確率はゼロになる, , ため, 確率分布（任意の事象Aにどの様に確率1を割り振るか）は, 離散確率分布のように表の形で書く事が出来ない． そこで，連続な標本空間の確率分布は，確率密度関数f_X(X)や累積分布関数F_X(X)を用いて表す.

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