確率論 5

ここまで，[1][2]のおかげて,大体確率論の基礎が理解できてきた.
確率変数, 確率分布, 確率密度関数, 累積分布関数, 離散形, 連続型, 確率変数の変換，同時分布, 周辺分布, 条件付き分布, ベイズの公式, 期待値, 分散, 標準偏差, Law of the unconscious statistician, 大数の法則， Uniform law of the large number, 中心極限定理, は，理解できたことにして，少しずつ応用(プログラミング)をしていく．

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C++のrand()が発生する乱数列の確率密度関数

いろんなアルゴリズムを書いていると，ある特定の分布に従う乱数列(1次元だけでなくn次元の乱数も)が必要になることがよくある． まず準備として，C++のrand()で発生させた乱数列の確率密度関数を描いてみる．

rand()自体はintを返してくるので，次の関数で発生させた乱数を考える。 
//[-1,1]の一様分布  E(X)=μ=0 V(X)=1/3
static inline double myRand()
{
  return 2.0 * rand()/(double)RAND_MAX - 1.0;
}


乱数の確率密度関数(の近似)を取得する

1) 幅hのビンを用意し，x軸に敷き詰める;
2) myRand()でNpt個の乱数を発生させて，対応するビンに入れる;
3) i番目のビンに，k個の乱数が入っていたら，このビンの高さ l = k / (h×Npt) とする;
下図の通り，i番目のビンの面積 h×l = P(h×i ≦X≦h×(i+1))であることに注意 (P()は確率);
4) 下図の通り，ビンの上端をつないだものが，確率密度関数になる;



この方法で得られたMyRand()の確率密度関数が以下. Npt　を大きくすると，だんだん綺麗な一様分布になる．binのサイズh=0.05とした．




Box Muller法

Box Muller法とは，区間(0,1)一様分布に従う乱数を標準正規分布N(0,1)に従う乱数に変換する手法のこと.
一様分布に従う2個の確率変数XYを以下の通り変更すると，標準正規分布に従う2個の確率変数Z1Z2が得られる．


  static inline void BMrand(double &z1, double &z2)
{
    double x1 = rand()/(double)RAND_MAX;
    double x2 = rand()/(double)RAND_MAX;
    z1 = sqrt( -2.0 * log( x1 ) ) * cos( 2.0 * M_PI * x2);
    z2 = sqrt( -2.0 * log( x1 ) ) * cos( 2.0 * M_PI * x2);
}
BMrandで発生させた乱数列の確率密度関数は以下(発生点数Npt = 1000000とした)．確かにN(0,1)の確率密度関数に一致している．



大数の法則を確かめる

Xiそれぞれを独立同一分布に従う確率変数とし，Znを以下のとおり定義する．

Znを発生させるコートは以下の通り． 
static inline double rand_1(int n)
{
    double v = 0;
    for( int i=0; i< n; ++i) v += myRand();
    return v / n;
}
この例では,Xiを，[0,1]の一様分布に従う確率変数とした．
先の方法と同様にして,ZnをNpt個発生させの確率密度関数を書いてみる．

確かにnを大きくするのに従い，分散が小さくなっているのがわかる．
これでnを無限大に飛ばせば, 確率変数Znの値は，0に収束する(常に値0を取るようになる)。



中心極限定理を確かめる

Xiそれぞれを独立同一分布に従う確率変数とし，Znを以下のとおり定義する．

Znを発生させるコートは以下の通り． 
static inline double rand_2(int n)
{
    double v = 0;
    for( int i=0; i< n; ++i) v += myRand();
    return v / sqrt( n * 1.0 / 3.0 );       //myRand()の作る一様分布[-1,1]の分散は1/3なので．
}
先の方法と同様にして,ZnをNpt個発生させの確率密度関数を書いてみる．
確かにnを大きくするのに従い，密度関数の形状が標準正規分布に近づいて行くのがわかる．



ここでは確率変数Xiが一様分布に従うとしたが，元となる分布ななんでもよい．これが中心極限定理の面白いところ．
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