確率論 3


  そろそろ慣れてきたので、標本空間や事象を考えず、確率変数に注目していく.

  「確率変数」とは,ランダムに値の変化する実数変数で, その値の出やすさは確率分布によって決まる.

  「確率分布」とは, 確率1を,確率変数が取りうるすべての値に,どう振り分けるかを表現するもの.
    - 離散的な確率変数を考えるとき,確率分布は対応表で表現できる. (取りうるすべての値X=aがどの程度の確率で起こるかを表でまとめられる)
    - 連続的な確率変数を考えるとき,確率分布は確率密度関数とその積分で表現できる.
  
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確率変数の変換

   
    下の表の確率分布に従う離散型の確率変数Xを考える.
X P(X=x)
100 0.1
200 0.1
300 0.2
400 0.2
500 0.2
600 0.2

    確率変数Xに対し, 確率変数Y Zを, Y = 2X+10, Z = X^2 と定義する.
    単純に考えて,X=100の時 Y=210という値を取るから, P(X=100) = P(Y=210)=0.1が成り立つ,
              X=300の時 Z=90000という値を取るから,P(X=300) = P(Z=90000)=0.2となる. この要領で表を埋めると,
Y=2X+10 P(Y=y) Z=X^2 P(Z=z)
210 0.1 10000 0.1
410 0.1 40000 0.1
610 0.2 90000 0.2
810 0.2 160000 0.2
1010 0.2 250000 0.2
1210 0.2 360000 0.2
    
    確率変数は離散的な値しか取らず, 各値に対して確率が決まっているので,
    単純に確率変数の値を, 変換式に代入した表を作れば良い. (離散の場合は非常に簡単)



     - Xを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とすると, 確率密度関数fX(x)は以下の通り.
      




 - ここで,確率変数 Y = X + 2 の確率密度関数fY(y)がどうなるか考える.

     - 例えば  , X=2 の時Y=4  ,なので, fY(4) = fX(2)
     - 同様に  , X=x の時Y=x+2,なので, fY(x+2) = fX(x)
     - くどいけど, X=y-2の時Y=y  ,なので, fY(y) = fX(y-2)

      つまり,fY(y)は fx(x)を+2平行移動したものに一致する

      

     - 区間 0≦X≦2 のfX(x) の形と, 区間2≦Y≦4 のfY(y) の形が一致していることに注目.




 - ここで,確率変数 Y = 3X + 2 の確率密度関数fY(y)がどうなるか考える.

     -先の例と同様すると,

     - X=2     の時Y=8  ,なので , fY(4) = fX(2)
     - X=x     の時Y=3x+2,なので, fY(3x+2) = fX(x)
     - X=(y-2)/3の時Y=y  ,なので , fY(y) = fX((y-2)/3)


      つまり,fY(y)は fx(x)を 横軸方向に+2平行移動して1/3倍したものに一致する


      
      としたいところだがこれは誤り.
      XとYの値の対応は良いのだが, 確率密度関数fX(x)を横軸方向に1/3倍(引き伸ばし)しているため, を満たさなくなる.

      結局, 全体を積分したら1になるという条件を満たすため, x方向に引き伸ばしたぶん, y方向に縮めれば良い. つまり...

     - X=2     の時Y=8  ,なので , fY(4) = 1/3 fX(2)
     - X=x     の時Y=3x+2,なので, fY(3x+2) = 1/3 fX(x)
     - X=(y-2)/3の時Y=y  ,なので , fY(y) = 1/3 fX((y-2)/3)
  

     
     これが Y = 3X + 2の確率密度関数


 確率変数の変換
 連続確率変数Xの確率密度関数fX(x)が与えられている下で, Y = g(X)という確率変数を考える.
 確率変数Yの確率密度関数は以下で与えられる
 
 ただしg(X)は, 微分可能, 逆関数g-1が存在, g'(x)≠0, 単射(a≠bならばg(a)≠g(b)) である事を仮定している.


2変数の変換


     todo


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