フーリエ変換 (連続)


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    今まで必要が無くて勉強したことがなかったフーリエ変換について、ざっと勉強したのでまとめておく。
  参考文献



直交関数

  
 
  定義: 区間[a,b]で定義された2つの関数 f(t), g(t), が以下を満たすとき,fとgは直交するといい、f(x)とg(x)のことを直交関数と呼ぶ

      


  定理 : 1/2, cos(kx), sin(kx) , (k = 1,2,3...)は [-π,π]において直交関数である.

  証明 ( cos(kx) と sin(kx) の場合のみ示す)
   任意の正整数, k, lについて、
      
      


直交関数による最小二乗近似

 
  区間[a,b]で定義された関数f(t)は、直交関数 g0(t), g1(t)...gN-1(t)の線形結合で近似できる.

      

  係数ciは,次の通り求まる.

      


  考え方.
  線形結合の係数ciを求めるため,近似誤差を次の通り定める.

      

  線形結合の係数ciは、上記の2近似誤差を最小化する様に決定すればよい。
  具体的には、∂E/∂ci = 0 を解けばよく、各係数ciは以下の通り求まる

      





フーリエ級数

  区間[-T/2, T/2]で定義された連続関数f(t)は,直交関数 1/2, cos(kt), sin(kt) (k = 1,2,3...n-1))の線形結合で近似できる.

              ・・・(1)
      
  係数は前述の最小二乗近似の概念を用いて、以下の通り計算できる.

             

        を周期と呼び, を基本周波数と呼び, を振動数と呼ぶ。

  (1)において n→∞ とすると、右辺はf(t)に収束する. (1/2 cos(kt) sin(kt) の完備性)
  つまり、 n→∞ とすると近似記号が消せる.


  フーリエ級数
  区間[-T/2, T/2]で定義された連続関数f(t)は,直交関数 1/2, cos(kt), sin(kt) (k = 1,2,3...n-1))の線形結合で表現できる   

                 ------(2)


                 




オイラーの式

   以下の式をオイラーの式と呼ぶ. (これはもうそういう記号だと覚える)

      


  sinθやcosθは,オイラーの式を用いて表せる。

               ------(3)

  これは展開すれば、明らか。虚数単位iが分母にあるのが気持ち悪いけど、しょうがない。


オイラーの式を用いてフーリエ級数を表す

   式(2)に式(3)を入れると、

      

         ------(4)
   

   ここで,複素数 Ckを以下の通り定義すると...

          
                      
              

   式(4)は次の通り単純な形で表せる.

             

   Ckを複素フーリエ係数と呼ぶ。今、実数関数f(t)を考えているので、右辺が複素数の形をしているが、虚数の項は消えて実数になる。
   また、実際にCkを計算する時は,以下の通り、実部と虚部に分けて積分する.

      




フーリエ変換(連続)

   前述のフーリエ級数において,
             
   と置くと、

             

   と書ける.ここで,T → ∞ とすると、w0→0となり,上のフーリエ級数は次のように書き直せる.
   フーリエ変換 :
             

   この左式を”逆フーリエ変換”と呼び、右式を”フーリエ変換”と呼ぶ.

   - この T → ∞ というのは,f(t)を級数展開する区間[-T/2,T/2]を広げる作業で,これにより基本周波数 w0 = 2π/T が十分小さくなる.
   - (周波数は角速度みたいなものなので、周期Tが大きくなると対応する基本周波数が"遅く"なるといってもいいかな)

   - 元の関数f(t)は,全ての周波数 w に関する に 係数 F(w) をかけて積分して(重ね合わせて)表現されている
   - つまりF(w) は 周波数 w の正弦波 が含まれる量を表す

   F(w)の実部をR(w),虚部をI(w)と置いてみると,逆フーリエ変換は以下の通り式変形できる.

      

      

   左辺 f(t) が実数関数なら、逆フーリエ変換の右辺の虚部はゼロになる.
   F(w)の実部 R(w) が cos(wt) の係数を表し, 虚部 I(w) が sin(-wt) の係数になっている.


  
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